خلاصه مبحث ماتریس ها در ریاضی
در این مطلب به توضیحی در خصوص خلاصه مبحث ماتریس ها در ریاضی می پردازیم.
اینتیتر – آوا سپهر؛ ماتریس ها با کاربردهای زیاد و متفاوتی در بسیاری از علوم استفاده می شوند. ماتریس ها تشکیل شده از تعدادی عدد در سطر و ستون های مشخص که در کنار هم نشان دهنده یک ماتریس هستند.
سطر ها از چپ به راست و ستون ها از بالا به پایین قرار دارند البته در هر عملیاتی که روی ماتریس ها انجام می دهیم سطر ها بر ستون ها مقدم تر هستند.
هر ماتریس را با حروف بزرگ یا کوچک لاتین مانند A و B … نام گذاری و نشان می دهند و به هر یک از اعضای داخل مارتریس نیز یک عنصر یا درایه می گویند. و برای مشخص کردن هر درایه در ماتریس عدد ردیف و ستون آن را به ترتیب بصورت زیرنویس حرف کوچک نام ماتریس می نویسند.
مانند نمونه زیر:
{A= {a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3
برای نمونه ماتریس بالا یک مثال از ماتریس ها را با جای گذاری اعداد به ازای هر درایه نشان می دهیم و مختصات چند درایه را مشخص می کنیم:
{۱۲۴۰۵۷۳۹۸} =A
- در ماتریس A درایه ۱ در سطر یک و ستون یک قرار دارد
- در ماتریس A درایه ۵ در سطر دو و ستون دو قرار دارد
- در ماتریس A درایه ۸ در سطر سه و ستون سه قرار دارد
و به همین ترتیب می توان محل هر درایه را در ماتریس A مشخص کنیم.
به تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس که به صورت ( سطر × ستون ) نوشته می‌شود، مرتبه ماتریس گفته می شود. برای مثال ماتریس زیر از ۳ سطر و ۴ ستون تشکیل شده است که با توجه به این مرتبه آن را ( ۳ × ۴ ) می گوییم.
{۷۱۳ ۲۴۵۱۵۵۲۰۲۹} =B
ماتریسی که تنها یک سطر داشته باشد، ماتریس سطری و ماتریسی که تنها یک ستون داشته باشد، ماتریس ستونی نامیده می‌شود.
ماتریسی که هیچ درایه ای نداشته باشد نیز ماتریس تهی نام دارد. و به ماتریس هایی که تعداد سطر و ستون های آن با هم برابر باشند نیز ماتریس مربعی گفته می شود.
جمع ماتریس ها
برای جمع کردن دو ماتریس باید اعداد هم مرتبه هر ماتریس را با هم جمع کرده و نتیجه آن را بنویسیم.
مانند زیر:
{۸۲۳ ۳۵۶۲۵۵۴۰۲۱۰} = {۱۱۰ ۱۱۱۱۰۲۰۰۱} + { ۷۱۳ ۲۴۵۱۵۵۲۰۲۹}
که به شکل زیر محاسبه می شود :
۸=۷+۱ ۶=۵+۱ ۵=۴+۱ ۳=۲+۱
۲=۱+۱ ۴=۲+۲ ۵۵=۵۵+۰ ۲=۱+۱
۳=۳+۰ ۱۰=۹+۱ ۲=۲+۰ ۰=۰+۰
نکته در جمع ماتریس ها
برای اینکه بتوانیم دو ماتریس را با یک دیگر جمع کنیم باید هر دو ماتریس هم مرتبه بوده که درایه ها را نظیر به نظیر با یکدیگر جمع کنیم ماتریس حاصل از جمع دو ماتریس نیز هم مرتبه با دو ماتریس جمع شده خواهد بود.
تفریق ماتریس ها
برای تفریق دو ماتریس می بایست اعداد هم مرتبه ماتریس ها را از هم کم کنیم
{۲ – ۰۰۳} = {۱۴ – ۱۵} – {۱۵۲۲}
که به شکل زیر محاسبه می شود:
۰=۵-۵ ۰=۱-۱
۴-=۲-۴ ۳ = (۱-) – ۲
ضرب یک ماتریس ها
برای ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر باید از روش ضرب داخلی استفاده کرد در اینجا به جای ضرب درایه ها در یکدیگر از ضرب سطر در ستون استفاده می شود.
ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر را با روش ضرب داخلی در مثال زیر انجام می دهیم :
{؟} = {۲۳۲۴۱۲} × {۱۲۱۳۴۱}
مرحله اول : ضرب سطر اول ماتریس شماره یک در ستون اول ماتریس شماره دو که به صورت زیر است:
۷ = ۱×۱ + ۲×۲ + ۲×۱ = (۲,۲,۱) (۱,۲,۱)
مرحله دوم : ضرب سطر اول ماتریس شماره یک در ستون دوم ماتریس شماره دو که به صورت زیر است:
۱۳ = ۲×۱ + ۴×۲ + ۳×۱ = (۳,۴,۲) (۱,۲,۱)
مرحله سوم : ضرب سطر دوم ماتریس شماره یک در ستون اول ماتریس شماره دو که به صورت زیر است:
۱۵ = ۱×۱ + ۲×۴ + ۲×۳ = (۲,۲,۱) (۳,۴,۱)
مرحله چهارم : ضرب سطر دوم ماتریس شماره یک در ستون دوم ماتریس شماره دو که به صورت زیر است:
۲۷ = ۲×۱ + ۴×۴ + ۳×۳ = (۳,۴,۲) (۳,۴,۱)
بعد از انجام محاسبات فوق عدد بدست آمده از مرحله اول را در ماتریس نهایی به صورت زیر می نویسیم:
- نتیجه مرحله اول : ۷ که در سطر ۱ ستون ۱ قرار می گیرد
- نتیجه مرحله دوم : ۱۳ که در سطر ۱ ستون ۲ قرار می گیرد
- نتیجه مرحله سوم : ۱۵ که در سطر ۲ ستون ۱ قرار می گیرد
- نتیجه مرحله چهارم : ۲۷ که در سطر ۲ ستون ۲ قرار می گیرد
نتیجه ماتریس به دست آمده بالا به شکل زیر است:
{۷۱۳۱۵۲۷} = {۲۳۲۴۱۲} × {۱۲۳۴۱}
نکته در ضرب ماتریس ها
هنگامی که ضرب دو ماتریس را انجام می‌دهیم باید در دو ماتریس شرایط زیر وجود داشته باشد تا بتوانیم این ضرب را انجام دهیم:
الف: تعداد ستون های ماتریس اول باید با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
ب: سطرهای ماتریس حاصلضرب به تعداد سطرهای ماتریس اول، و ستون‌های آن نیز به تعداد ستون های ماتریس دوم سطر خواهد بود.
به طور کلی:
برای ضرب یک ماتریس m × n در یک ماتریس n × p، تعداد nها باید باهم برابر باشند و نتیجه ضرب، یک ماتریس m × p خواهد بود.
ضرب یک عدد ثابت در ماتریس
برای ضرب یک عدد در یک ماتریس کافیست آن عدد را در تک تک درایه های آن ماتریس ضرب کرده سپس حاصل بدست آمده از این ضرب را در یک ماتریس جدید قرار دهیم.
برای ضرب یک عدد در یک ماتریس به شکل زیر عمل می کنیم:
{۴۴۸۲۶۱۰۸۶۱۴} = {۲۲۴۱۳۵۴۳۷} × ۲
نتیجه ضرب عدد ۲ در ماتریس بالا به صورت زیر محاسبه شده است:
۸=۴×۲ , ۴=۲×۲ , ۴=۲×۲
۱۰=۵×۲ , ۶=۳×۲ , ۲=۱×۲
۱۴=۷×۲ , ۶=۳×۲ , ۸=۴×۲
نکته ضرب یک عدد در ماتریس
این مضرب ثابت (Scalar) نام دارد و این روش ضرب نیز اصولاً به نام «ضرب اسکالر» یا «ضرب نرده ای» نامیده می‌شود.
ترانهاده یک ماتریس
ترانهاده یا (Transpose) یک ماتریس، ماتریسی است که جای سطر ها و ستون های آن را عوض کرده باشیم و از حرف ” T ” در سمت بالا و راست ماتریس، به عنوان نماد ترانهاده استفاده می کنیم.
مثال ترانهاده یک ماتریس در یک ماتریس ۳ در ۳:
{۱۴۷۲۵۸۳۶۹} = {۱۲۳۴۵۶۷۸۹T} =A
در مثال بالا جای سطر ها ماتریس A با ستون های آن جا به جا شده اند که حاصل آن را ترانهاده A می نامیم.
